2008-2009学年湖北省宜昌一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=a+bi，则点（a，b）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

下列函数中，有反函数的是（ ）
A．
B．
C．y=sin
D．

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁+3a₈+a₁₅=120，则2a₉-a₁₀的值为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．-8

4. 难度：中等

已知集合A={x∈R|＜2^x＜8}，B={x∈R|-1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥2
B．m≤2
C．m＞2
D．-2＜m＜2

5. 难度：中等

已知命题p：|x-1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（ ）
A．{x|x≥3}或{x|x≤-1，x∉Z}
B．{x|-1≤x≤3，x∈Z}
C．{-1，0，1，2，3}
D．{0，1，2}

6. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

7. 难度：中等

函数f（x）=（x+2）³-x+1的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标是（ ）
A．（-1，1）
B．（-2，3）
C．（0，9）
D．（2，-3）

8. 难度：中等

图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若定义在R上的减函数y=f（x），对于任意x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0都成立，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则当 1≤x≤4时，的取值范围是（ ）
A．[-，1）
B．[-，1]
C．（-，1]
D．[-，1]

10. 难度：中等

设f（x）在x_o处可导．且f（x_o）=0 则（ ）
A．等于f′（x_o）
B．等于-f′（x_o）
C．等于0
D．不存在

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=的定义域为A，2∉A，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设集合M={m|m=7n+2ⁿ，n∈N^*，且m＜200}，则集合M中所有元素的和为     ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=在x=1处连续，则=    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，记a_n=f（n）（n∈N^*），则a₂₀₀₈=    ．

15. 难度：中等

对于函数f（x）=|x|³-x²+（3-a）|x|+b．
（1）若f（2）=7，则f（-2）=    ．
（2）若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a_n-2S_n=1，数列{b_n}满足b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与{b_n}的前n项和T_n；
（2）设数列{}的前n项和为U_n，求证：0＜U_n≤4．

17. 难度：中等

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M为PD中点．
（ I ） 求证：MC∥平面PAB；
（Ⅱ）在棱PD上找一点Q，使二面角Q-AC-D的正切值为．

18. 难度：中等

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且，求无穷数列所有项的和．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=为奇函数，满足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤ 的解集是[-2，-1]∪[2，4]．
（1）求a，b，c的值；
（2）对一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-都成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x_o∈R，使f（x_o）=x_o成立，则称x_o为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足4S_n•f（）=1，求证：-＜ln＜-；
（3）设b_n=-，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．