2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={a，b，-（a+b）}，a∈R，b∈R，，集合P={1，0，-1}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则以a，b为坐标的点组成的集合S有元素（ ）个．
A．2
B．4
C．6
D．8

2. 难度：中等

设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足，，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得∠AOB=90°，∠BOC=30°，则tan∠OAB=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知当时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinx-cosx图象的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知α是函数 f（x）=xlog_ax-2008，（a＞1）的一个零点，β是函数g（x）=xa^x-2008的一个零点，则αβ的值为（ ）

A．1
B．2008
C．2008²
D．4016

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域为，那么就称y=f（x）为“好函数”．现有f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）是“好函数”，则k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ为完全平方数，则正整数n满足（ ）
A．n≥1972
B．n≤1972
C．n≥1973
D．n≤1970

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量满足，若，则=    ．

10. 难度：中等

若数列{a_n}中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数n的最大值为    ．

11. 难度：中等

如图是一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4，BC=6，CC₁=3．则这个多面体的体积为    ．

12. 难度：中等

把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米．

13. 难度：中等

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是    ．

14. 难度：中等

设，则函数的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）若，不等式|x-m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

设f（x）=3ax²-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；
（2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值．

17. 难度：中等

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴及射线y=x，（x≥0）都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤=1，
求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{a_n}，当n＞1时，求证：．