2003-2004学年江苏省无锡市天一中学高二（下）期末数学试卷（普通班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设M={正四棱柱}，N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，则四个集合的关系为（ ）
A．M⊊P⊊N⊊Q
B．M⊊P⊊Q⊊N
C．P⊊M⊊N⊊Q
D．P⊊M⊊Q⊊N

2. 难度：中等

集合{x|C₁₀^x≤20}中元素个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

3. 难度：中等

将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（ ）
A．252种
B．112种
C．70种
D．56种

4. 难度：中等

用简单随机抽样的方法，从总体个数为10的总体中抽取样本容量为2的一个样本，记其中某一个个体第一次被抽到的概率为P₁，第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为P₂，则有（ ）
A．P₁=，P₂=
B．P₁=，P₂=
C．P₁=，P₂=
D．P₁=，P₂=

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，则f（2）等于（ ）
A．11或18
B．11
C．18
D．17或18

6. 难度：中等

一个长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．
B．14π
C．56π
D．64π

7. 难度：中等

已知=a_o+a₁x+a₂x²+a₃x³+…a₂₁x²¹，则（a+a₂+…a₂₀）²-（a₁+a₃+…a₂₁）²的值为（ ）
A．1
B．-1
C．-2
D．2

8. 难度：中等

某班级有同学54名，其中男生30名，现在要在班级中选9名同学参加学校组织的座谈会，如果按照性别比例分层抽样，则不同的抽样种数有（ ）
A．A₃₀⁴•A₂₄⁵
B．A₃₀⁵•A₂₄⁴
C．C₃₀⁴•C₂₄⁵
D．C₃₀⁵•C₂₄⁴

9. 难度：中等

10件产品中有2件次品，现逐一进行检查，直到次品全部被检查出为止，则恰好在第5次次品被全部检查出来的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在一个足够大的纸板上剪去一个边长为3的等边三角形，这样纸板上就有一个洞，，再把纸板套在一个底面半径为，高为8的圆锥上，使得纸板与圆锥底面平行，这样能穿过纸板面的圆锥的体积为（ ）
A．4π
B．3π
C．2π
D．π

11. 难度：中等

设U={1，2，3，4，5，6}，A与B是U的子集合，若A∩B={1，3，5}，则称（A，B）为“理想配集”，那么所有的理想配集个数是（ ）
A．9
B．6
C．27
D．8

12. 难度：中等

方程3x⁴-4x³-12x²+12=0的解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

将容量为100的样本数据，按从小到大分为8组，如下表

组数	1	2	3	4	5	6	7	8
频数	10	13	a	b	15	13	12	9

且第3组的累积频率为0.37，则第4组的频率为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+12在x=-3处有极大值，在x=2处有极小值，则6a+b=    ．

15. 难度：中等

一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为    ．

16. 难度：中等

8个身高不相同的人排成前后两排，每排4人，要求后排的人都比他对应的前排的人高，则不同的排法有    种．

三、解答题

17. 难度：中等

4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况各有多少种不同排法：
（1）3个女同学必须排在一起；
（2）同学甲和同学乙之间恰好有3人；
（3）女同学从左往右按从高到低排（3个女同学身高互不相等）．

18. 难度：中等

设某一射手在射击时中靶的概率为0.4，假设每次射击相互独立，
（1）求5次射击中恰好中靶2次的概率；
（2）求5次射击中恰好第二、三次中靶的概率；
（3）要使靶子被击中的概率不低于0.95，至少要射击几次．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

19. 难度：中等

在（1+2x）ⁿ的展开式中，前三项的系数和为201．
（1）求展开式中第几项的二项式系数最大？
（2）求展开式中第几项的系数最大？

20. 难度：中等

如图，在五面体P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，PB=，PD=．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P-BC-A的大小．

21. 难度：中等

已知一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为
（1）将长方体的体积V表示为其中一条棱长x的函数关系，并写出定义域；
（2）求体积的最大、最小值；
（3）求体积最大时三棱长度．

22. 难度：中等

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；
（Ⅱ）设函数y=f（x） （x∈（0，1））的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|≤1的充要条件；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证|a|＜．