2011-2012学年河北省唐山一中高二（上）第二次调研数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

平面内有两个定点F₁（-5，0）和F₂（5，0），动点P满足条件|PF₁|-|PF₂|=6，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．-=1（x≤-4）
B．-=1（x≤-3）
C．-=1（x＞≥4）
D．-=1（x≥3）

2. 难度：中等

圆x²+y²=2的经过点P（，2-）的切线方程是（ ）
A．x+y=2
B．x+y=
C．x=或x+y=2
D．x=或x+y=

3. 难度：中等

已知圆（x-2）²+（y+1）²=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）
A．2x+y-5=0
B．x-2y=0
C．2x+y-3=0
D．x-2y+4=0

4. 难度：中等

已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

5. 难度：中等

以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

椭圆mx²+y²=1的离心率是，则它的长半轴的长是（ ）
A．1
B．1或2
C．2
D．或1

7. 难度：中等

P（x，y）是椭圆+=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线PD，D是垂足，M是PD的中点，则M的轨迹方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

8. 难度：中等

设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

9. 难度：中等

曲线y=1+（-2≤x≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．[，+∞）
B．（，]
C．（0，）
D．（，]

10. 难度：中等

给出方程（a，b，c∈R）和三个结论：①方程的曲线是双曲线；②方程的曲线是椭圆或圆；③方程无轨迹．下面的说法一定正确的是（ ）
A．只有①正确
B．只有②正确
C．③不正确
D．①②③都有正确的可能

11. 难度：中等

直线y=x+3与曲线-+=1交点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

二、填空题

13. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是     ．

14. 难度：中等

若曲线表示双曲线，则k的取值范围是     ．

15. 难度：中等

与两条平行直线x+3y-5=0，x+3y-3=0相切，且圆心在直线2x+y+3=0上的圆的标准方程是    ．

16. 难度：中等

已知椭圆的两焦点为F₁，F₂，上顶点为B，那么△F₁B F₂的外接圆方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在椭圆+=1内有一点M（4，-1），使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程．

18. 难度：中等

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为，求此椭圆的方程．

19. 难度：中等

已知过A（0，1）和B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．

20. 难度：中等

设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

21. 难度：中等

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

22. 难度：中等

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．