2011-2012学年天津一中高三（上）入学摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的值是（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．i

2. 难度：中等

某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（ ）
A．25、15、5
B．20、15、10
C．30、10、5
D．15、15、15

3. 难度：中等

已知集合A={x|a-2＜x＜a+2}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（ ）
A．0≤a≤2
B．-2＜a＜2
C．0＜a≤2
D．0＜a＜2

4. 难度：中等

要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

5. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

6. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．

7. 难度：中等

如图，三行三列的方阵中有9个数a_ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．

二、填空题

9. 难度：中等

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有    根在棉花纤维的长度小于20mm．

10. 难度：中等

以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=    ．

11. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是    ．

三、解答题

12. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程，求直线l被曲线C所截的弦长．

四、填空题

13. 难度：中等

已知函数在区间上为单调增函数，则实数a的取值范围    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是    ．

五、解答题

15. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

六、填空题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，
（1）求角A的大小
（2）若，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

设数列{a_n}是公差大于0的等差数列，a₃，a₅分别是方程x²-14x+45=0的两个实根
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设，求数列b_n的前n项和T_n．

七、解答题

18. 难度：中等

口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数学2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字这和为ξ
（Ⅰ）ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ．

19. 难度：中等

椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．