2011-2012学年广西柳州市铁路一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=2^x，x∈R}，N={y|y=x²，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．{2，4}
D．{（2，4），（4，16）}

2. 难度：中等

若复数为纯虚数，则log₂a的值为（ ）
A．i
B．1
C．
D．-i

3. 难度：中等

的值是（ ）
A．0
B．
C．1
D．不存在

4. 难度：中等

在2011年深圳的大运会上，有一个12人的旅游团在某场馆进行合影留恋，他们先站成了前排4人，后排8人的情况，现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排调2人到前排，且这两个人在前排的位置不相邻，则不同的调整方法数是（ ）
A．72
B．280
C．560
D．1440

5. 难度：中等

向量，则向量的夹角的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

平面α与球O相交于周长为2π的⊙O′，A、B为⊙O′上两点，若，且A、B两点间的球面距离为，则OO′的长度为（ ）
A．1
B．
C．π
D．2

7. 难度：中等

设，则f（-12）+f（-11）+f（-10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线l₁：7x-y+4=0到l₂：x+y-2=0的角平分线方程是（ ）
A．6x+2y-3=0或x-3y+7=0
B．6x+2y+3=0
C．x+3y+7=0
D．6x+2y-3=0

9. 难度：中等

设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x的导函数是f'（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（ ）
A．y=-3
B．y=-2
C．y=3
D．y=2

10. 难度：中等

在二项式（1-2x）ⁿ的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（ ）
A．-960
B．960
C．1120
D．1680

11. 难度：中等

已知点F是抛物线C：y²=4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|＞|FB|，则的值等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

12. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）=（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₂+x₄+x₅）等于 （ ）
A．0
B．21g2
C．31g2
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

不等式|2x-3|＜x+1的解集是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，求通项公式a_n=    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足y=x²-2x+2（-1≤x≤1），则的最大值与最小值的和为    ．

16. 难度：中等

设x₁，x₂∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”，，定义运算“⊗”，．现有x≥0，则动点的轨迹方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x²+ξ•x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别是棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求二面角B-A₁D-A的大小；
（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定F的位置并证明结论；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）确定函数h（x）的单调性；
（2）求证：当1＜x＜e²时，恒有成立．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设，若数列{|b_n|}的前n项和为S_n，求S_n的表达式；
（3）记，函数，求证：．

22. 难度：中等

若F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P及N （2，）均在双曲线上，M在C的右准线上，且满足．
（1）求双曲线C的离心率及其方程；
（2）设双曲线C的虚轴端点B₁、B₂（B₁在y轴的正半轴上），点A，B在双曲线上，且，当时，求直线AB的方程．