2011-2012学年广东省广州市增城中学高三（上）综合测试数学试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={-1，0，2}，集合A={-1，2}，B={0，2}，则（C_UA）∩B=（ ）
A．∅
B．{0}
C．{2}
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

已知复数，则|z|等于（ ）
A．-i
B．1
C．-1
D．2i

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．

4. 难度：中等

已知a、b是实数，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条

5. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m、n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α．其中正确的命题有（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

6. 难度：中等

实数x、y满足不等式组，则w=的取值范围（ ）
A．[-1，]
B．[-，]
C．[，+∞）
D．[-，1）

7. 难度：中等

甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种
B．12种
C．24种
D．30种

8. 难度：中等

在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y²=16x的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为    ；渐近线方程为    ．

10. 难度：中等

如图：某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体外接球的表面积是    ．

11. 难度：中等

二项式展开式中，除常数项外，各项系数的和为    ．

12. 难度：中等

关于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

如图，第n（n∈N^*）个图形是由正n+2边形“扩展”而来，例如第一个图形由正三边形“扩展”而来，…，则前30个图形中共有    个顶点．

14. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρcosθ=2的距离是   

15. 难度：中等

如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，∠BNA=45°，若⊙O的半径为2，OA=OM，则MN的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值，以及对应的x的值．

17. 难度：中等

某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张．每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元．某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券．设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ（元）．
（Ⅰ）求ξ的所有可能取值；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

20. 难度：中等

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：．