2011-2012学年吉林省吉林市普通中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的准线方程为（ ）
A．x=2
B．x=-2
C．x=1
D．x=-1

2. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则此数列的通项a_n等于（ ）
A．3-n
B．n+1
C．1-n
D．n²+1

3. 难度：中等

若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．＞
B．|a|＞|b|
C．+＞2
D．a+b＞ab

4. 难度：中等

命题“∃”的否定为（ ）
A．
B．∀x∈R，x²-1＜0
C．
D．∀x∈R，x²-1≥0

5. 难度：中等

若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]
B．（-∞，]
C．（0，]
D．（-∞，-]

7. 难度：中等

设{a_n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6

8. 难度：中等

F₁，F₂为椭圆的两个焦点，过F₂作椭圆的弦AB，若△AF₁B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=2x上的动点，过点P作y轴垂线PM，垂足为M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5

10. 难度：中等

锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（0，2）
C．（，2）
D．（，）

11. 难度：中等

已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]∪[4，+∞）
B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
C．（-2，4）
D．（-4，2）

12. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为     m．

14. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为    ．

15. 难度：中等

已知P为棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为    ．

16. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，令，称T_n为数列a₁，a₂，…，a_n的“和平均数”，已知数列a₁，a₂，…，a₅₀₂的“和平均数”为2012，那么数列2，a₁，a₂，…，a₅₀₂的“和平均数”为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

等比数列{a_n}中，公比q＞0，数列的前n项和为S_n，若a₃=2，S₄=5S₂，求数列{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C及c．

19. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

21. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点：
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦值；
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=4px（p＞0），焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁；椭圆C₂：分别以F₁、F₂为左、右焦点，其离心率；且抛物线C₁和椭圆C₂的一个交点记为M．
（1）当p=1时，求椭圆C₂的标准方程；
（2）在（1）的条件下，若直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF₁F₂的周长，求直线l的方程．