2011-2012学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

复数的实部为    ．

3. 难度：中等

已知，且，则tanα=    ．

4. 难度：中等

执行如图的流程图，得到的结果是    ．

5. 难度：中等

已知x，y满足不等式组，则2x-y的最大值是    ．

6. 难度：中等

为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是    ．

7. 难度：中等

设l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是    ．（填序号）
①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；
②若l∥m，m⊥α，l⊥β，则α∥β；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若α⊥β，α∩β=m，l⊂β，l⊥m，则l⊥α．

8. 难度：中等

设直线2x+3y+1=0和圆x²+y²-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是    ．

9. 难度：中等

先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是    ．

10. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，公比q＞1，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8，则=    ．

11. 难度：中等

在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于    ．

12. 难度：中等

已知椭圆过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且，则椭圆E的离心率是    ．

13. 难度：中等

若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则xyz的最大值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知．
（I）求f（x）在[0，π]上的最小值；
（II）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，，且f（B）=1，求边a的长．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）若四边形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．

17. 难度：中等

某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．
（I）求f（x）的表达式；
（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．

18. 难度：中等

如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程．
（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e²-k是定值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（III）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．

20. 难度：中等

设数列{b_n}满足．
（I）若b₃=3，求b₁的值；
（II）求证数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列；
（III）设数列{T_n}满足：，且，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜q成立，试求q-p的最小值．

21. 难度：中等

求矩阵的特征值和特征向量．

22. 难度：中等

已知P（x，y）是椭圆上的点，求M=x+2y的取值范围．

23. 难度：中等

口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X．
（I）若取到红球再放回，求X不大于2的概率；
（II）若取出的红球不放回，求X的概率分布与数学期望．

24. 难度：中等

已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{a_n}满足：a₁=1，（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k，其中k=1，2，3，…，p-1．
（I）设p=4，求a₂，a₃，a₄；
（II）求a₁+a₂+a₃+…+a_p．