2011-2012年学广东省梅州市东山中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞-1}
B．{x|x＜1}
C．{x|-1＜x＜1}
D．∅

2. 难度：中等

若向量满足且，则等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0

3. 难度：中等

，，则cos（π-α）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-

4. 难度：中等

将函数的图象向右平移个单位后，其图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数，则等于（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

6. 难度：中等

若0＜a＜，-＜β＜0，cos（+α）=，cos（-）=，则cos（α+）=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

7. 难度：中等

对于任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，那么x的取值范围是（ ）
A．（1，3）
B．（-∞，1）∪（3，+∞）
C．（1，2）
D．（3，+∞）

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-l）
D．（-∞，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

若=9，则a=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，已知，则角A的值为    ．

11. 难度：中等

函数的图象在处的切线方程为    ．

12. 难度：中等

若不等式|2x-3|＞4与不等式x²+px+q＞0的解集相同，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-2x+a有零点，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是     （请将你认为正确的序号都填上）
（1）f（x）是R上的单调递减函数；
（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
（4）f（x）存在反函数f^-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f^-1（x）成立．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a=2，，．
（1）求角B的余弦值；
（2）求△ABC的面积S．

16. 难度：中等

已知a∈R，
命题p：实系数一元二次方程x²+ax+2=0无实根；
命题q：存在点（x，y）同时满足x²+y²=4且（x+a）²+y²=1．
试判断：命题p是命题q的什么条件（充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件）？请说明你的理由．

17. 难度：中等

已知函数．
（I）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

18. 难度：中等

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的最小值为h（a），m，n为h（a）定义域A中的任意两个值，求证：．

20. 难度：中等

对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）求证：不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x₁，x₂∈A，若|x₁-x₂|∈{1，2，3}，则f（x₁）≠f（x₂）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“和谐集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．