2009-2010学年广东省广州市培英中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（1-ai）（3+2i）为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）
A．30
B．60
C．70
D．80

3. 难度：中等

设集合M={y|y=lnx，x＞0}，N={x|y=lnx，x＞0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充要条件
C．充分而不必要条件
D．必要而不充分条件

4. 难度：中等

已条变量x，y满足则x+y的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

若函数f（x）=x³+x²-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f （1）=-2	f （1.5）=0.625	f （1.25）=-0.984
f （1.375）=-0.260	f （1.4375）=0.162	f （1.40625）=-0.054

那么方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5

6. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，a₁=-2009，，则S₂₀₀₉的值为（ ）
A．0
B．2009
C．-2009
D．-2009×2009

8. 难度：中等

△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点，它到其三边的距离都等于2，且P在平面ABC上的射影O位于△ABC的内部，则PO等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线上一点N到其焦点F的距离是3，则点N到直线y=1的距离等于    ．

10. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=    ．

11. 难度：中等

已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是     ．

12. 难度：中等

展开式中含x²项的系数是    ．

13. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心与点D（1，π）的距离为     ．

14. 难度：中等

如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于    ．

15. 难度：中等

（不等式选讲选做题） 若不等式|x+1|+|x-2|＜a无实数解，则a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）在处的切线方程．

17. 难度：中等

某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本	人教A版	人教B版	苏教版	北师大版
人数	20	15	5	10

（1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的变分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

19. 难度：中等

已知函数f（x）自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），求m的取值范围．

20. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线AF₁的距离为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-1，0），较y轴于点M，若，求直线l的方程．

21. 难度：中等

如图，曲线段C是函数（x≥0）的图象，C过点P₁（1，1）．过P₁作曲线C的切线交x轴于Q₁点，过Q₁作垂直于x轴的直线交曲线C于P₂点，过P₂的切线交x轴于Q₂点，…，如此反复，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，设Q_n（a_n，0）．
（1）求a₁；
（2）求a_n的表达式；
（3）证明：（n∈N^*）．