2012-2013学年山西省太原市古交一中高三（上）8月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆 （φ是参数）的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

直线（t为参数）的倾斜角的大小为（ ）
A．-
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知点P的极坐标是（1，π），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（ ）
A．ρ=1
B．ρ=cosθ
C．
D．

4. 难度：中等

已知圆的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
A．ρ=2cosθ
B．ρ=2sinθ
C．ρ=-2cosθ
D．ρ=-2sinθ

5. 难度：中等

不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ）
A．[-5，7]
B．[-4，6]
C．（-∞，-5]∪[7，+∞）
D．（-∞，-4]∪[6，+∞）

6. 难度：中等

在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）的最短距离是（ ）
A．
B．0
C．1
D．

8. 难度：中等

若不等式|ax+2|＜6的解集为（-1，2），则实数a等于（ ）
A．8
B．2
C．-4
D．-8

9. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线Z的参数方程为（t为参数，且t＞0）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为．则直线l和曲线C的公共点有（ ）
A．0个
B．l个
C．2个
D．无数个

10. 难度：中等

已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（ ）
A．（，）
B．
C．（，）
D．

11. 难度：中等

函数y=的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．
D．9

12. 难度：中等

不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[-1，4]
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．（-∞，-1]∪[4，+∞）
D．[-2，5]

二、填空题

13. 难度：中等

对于实数x，y，若|x|≤1，|y|≤1，则|x+2y|的最大值为    ．

14. 难度：中等

（选做题）设P（x，y） 是曲线C：（θ为参数）上任意一点，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）．若曲线C_l、C₂有公共点，则实数a的取值范围    ．

16. 难度：中等

若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设不等式|2x-1|＜1的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

18. 难度：中等

已知曲线C₁的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC的顶点都在C₂上，且A、B、C以逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）
（Ⅰ）求点A、B、C 的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|
（Ⅰ）证明：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

20. 难度：中等

在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．

21. 难度：中等

在气象台A正南方向200千米处有一台风中心，它以每小时20千米的速度向北偏东45°方向移动，距台风中心160千米以内的地方都要受其影响．问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（注：，）

22. 难度：中等

已知：函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（I）求不等式f（x）≤2的解集
（II）对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，求实数x的取值范围．