2011-2012学年江西省吉安一中高三（下）第一次段考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a，b∈R，i是虚数单位，且（a-2）i-b=1+i，则（1+i）^a+b的值为（ ）
A．4
B．-4
C．4+4i
D．2i

2. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．∀x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．∃x∈（-∞，0），2^x＜3^x
D．∀x∈（0，+π），sinx＞cos

3. 难度：中等

已知平面向量，则的值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．

4. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（ ）
A．-3
B．
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=1，2，…，且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），则当n≥1时，log₂a₁+log₂a₃+…+log₂a_2n-1=（ ）
A．（n-1）²
B．n²
C．（n+1）²
D．n²-1

6. 难度：中等

为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
父亲身高x（cm）：174，176，176，176，178
儿子身高y（cm）：175，175，176，177，177
则y对x的线性回归方程为（ ）
A．y=x-1
B．y=x+1
C．y=88+
D．y=176

7. 难度：中等

一个三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π

8. 难度：中等

设双曲线的-个焦点为F；虚轴的-个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

将函数f（x）=2sin（2x+）-3的图形按向量=（m，n）平移后得到函数g（x）的图形，满足g（-x）=g（+x）和g（-x）+g（x）=0，则向量的一个可能值是（ ）
A．（-，3）
B．（，3）
C．（-，-3）
D．（，-3）

10. 难度：中等

已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别是A_n和B_n，且，则等于（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是     ．

12. 难度：中等

直线y=x+b与曲线有且有一个公共点，则b的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=与g（x）=log₂x，则函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数f（x）在点（0，f（0））处切线方程为    ．

15. 难度：中等

设，，为单位向量，，的夹角为60°，则•+•的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量=（c-a，b-a），=（a+b，c），若．
（1）求角B的大小．
（2）求sinA+sinC的取值范围．

17. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求三棱锥B-CMN的体积．

18. 难度：中等

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅还喜欢打羽毛球，B₁，B₂，B₃还喜欢打乒乓球，C₁，C₂还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B₁和C₁不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：

p（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中n=a+b+c+d）

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足对任意的正整数m，n都有b_m+n=b_mb_n，且．对数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）若a＞2，讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知a=1，g（x）=2f（x）+x³，若数列{a_n}的前n项和为S_n=g（n），证明：（n≥2，n∈N₊）．

21. 难度：中等

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．