2012-2013学年江苏省连云港市东海高级中学高三（上）段考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={-1，1，3}，B={a+2，a²+4}，A∩B={3}，则实数a=    ．

2. 难度：中等

若α角与角终边相同，则在[0，2π]内终边与角终边相同的角是    ．

3. 难度：中等

若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为    ．

4. 难度：中等

已知函数，若f（f（2））=0，则实数a=    ．

5. 难度：中等

已知，则siny-cos²x的最大值为    ．

6. 难度：中等

已知，则的值是    ．

7. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}，∃a∈R，使得集合A中所有整数的元素和为28，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知命题p：在x∈（-∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）．若，则实数ω的最小值为    ．

10. 难度：中等

设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）在上单调    ，在上单调    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．关于x的方程f（x）=2a²有解，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知函数y=x³+3x²+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），就恒有y₁+y₂的定值为y，则y的值为    ．

13. 难度：中等

已知函数，则其最大值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）定义在D=[-m，m]（m＞2）上且f（x）＞0，对于任意实数x，y，x+y∈D，都有f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1006，设函数的最大值和最小值分别为M和N，则M+N=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的表达式．
（II）若，求的值．

16. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+mx+1（m∈Z），且关于x的方程f（x）=2在上有两个不相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若x∈[2，t]总有f（x-5）≤2x成立，求t的最大值．

17. 难度：中等

如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x_B，y_B），设∠BAO=β．
（1）用β表示α； 
（2）如果，求点B（x_B，y_B）的坐标；
（3）求x_B-y_B的最小值．

18. 难度：中等

如图，在半径为R、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．
（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数；
（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形EPQF的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．

19. 难度：中等

设函数
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x（x-1）（x-a）（a∈R），f（x）的两个极值点为A（α，f（α）），B（β，f（β）），线段AB的中点为M．
（1）如果函数f（x）为奇函数，求实数a的值；当a=2时，求函数f（x）图象的对称中心；
（2）如果M点在第四象限，求实数a的范围；
（3）证明：点M也在函数f（x）的图象上，且M为函数f（x）图象的对称中心．