2012-2013学年辽宁省本溪一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集∪=R，集合A={x|x＞0}，B={x|log₂x＞0}，则A∩C_UB=（ ）
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}

2. 难度：中等

已知，是虚数单位，则|z|=（ ）
A．1
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，若a₃+a₄+a₅=12，则a₁+a₂+…+a₇=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35

4. 难度：中等

设p：|4x-3|≤1；q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．（0，）
C．（-∞，0]∪[，+∞）
D．（-∞，0）∪（，+∞）

5. 难度：中等

直线（1+3m）x+（3-2m）y+8m-12=0（m∈R）与圆x²+y²-2x-6y+1=0的公共点个数是（ ）
A．1
B．0或2
C．2
D．1或2

6. 难度：中等

已知程序框图如图则输出的i为（ ）

A．7
B．8
C．9
D．10

7. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若α∥β，m⊂α，则m∥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．①②
C．③④
D．②③

8. 难度：中等

设非零向量、、满足，则=（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°

9. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

10. 难度：中等

已知函数（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若，则f（x）的取值范围是（ ）
A．
B．[-3，3]
C．
D．

11. 难度：中等

已知，M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+y²=8，过点A（-1，0），直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧，则直线l的方程为    ．

15. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，则数列的前n项和Sn=    ．

16. 难度：中等

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求b值．

18. 难度：中等

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（Ⅰ）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
附：K²=（此公式也可写成x²=）

P（k^2≥K）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

19. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求三棱锥F-ABE的体积．

20. 难度：中等

如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

22. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为，（为参数），
（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程．
（2）直线与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

23. 难度：中等

已知函数
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）求函数y=f（x）的最大值．

24. 难度：中等

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，
（1）求证：BE=2AD；
（2）求函数AC=1，EC=2时，求AD的长．