2012-2013学年福建省三明一中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x-y+3=0的倾斜角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

2. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n+1=0（n∈N⁺），则此数列的通项a_n等于（ ）
A．n²+1
B．n+1
C．1-n
D．3-n

3. 难度：中等

已知=（10，5），=（5，x）且∥，则x的值为（ ）
A．2.5
B．2
C．5
D．0.5

4. 难度：中等

直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转90°所得的直线方程是（ ）
A．x-2y+4=0
B．x+2y-4=0
C．x-2y-4=0
D．x+2y+4=0

5. 难度：中等

“a=2”是“直线2x+ay-1=0与直线ax+2y-2=0平行”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若x、y∈R，且2y是1+x和1-x的等比中项，则动点（x，y）的轨迹为除去x轴上点的（ ）
A．一条直线
B．一个圆
C．双曲线的一支
D．一个椭圆

8. 难度：中等

若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是（ ）
A．4
B．12
C．4或12
D．6

9. 难度：中等

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF₁|：|PF₂|=4：3，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．30
B．.25
C．24
D．.40

10. 难度：中等

两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且a＞b则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（ ）
A．m∥n
B．n⊥m
C．n∥α
D．n⊥α

12. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=4x上的点，设点P到抛物线的准线的距离为d₁，到圆（x+3）²+（y-3）²=1上一动点Q的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若，，且与的夹角为60，则=    ．

14. 难度：中等

圆（x-2）²+（y-1）²=1关于A（1，2）对称的圆的方程为    ．

15. 难度：中等

在抛物线y²=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为    ．

16. 难度：中等

已知直线l与椭圆x²+2y²=2交于P₁、P₂两点，线段P₁P₂的中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k₂，则k₁k₂的值等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设{a_n}是公比为正数的等比数列a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知圆C的方程为：x²+y²=4．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程．

19. 难度：中等

已知双曲线，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，原点O到l的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）求该双曲线的渐近线方程、顶点坐标和焦点坐标．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，
（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．

21. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1，
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

22. 难度：中等

已知双曲线，
（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．
（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
（3）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△cmn面积的最大值，并求此时直线l的方程．