2012-2013学年江西省抚州市广昌一中、崇仁一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

为了了解学生每天的睡眠时间，某调查机构对实验学校1200名学生用系统抽样的方式获取样本．已知样本容量为30，则分段间隔k的值与该校高一（2）班李玲被抽中的概率分别为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是（ ）
A．若α∥β，l⊂α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

3. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知一组数x₁，x₂，x₃，x₄的平均数是，方差s²=2，则数据2x₁+1，2x₂+1，2x₃+1，2x₄+1的平均数和方差分别是（ ）
A．3，4
B．3，8
C．2，4
D．2，8

5. 难度：中等

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

已知实数x∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=5，AD=7，在矩形ABCD内任取一点P，事件A为“∠APB＞90°”，则P（A）值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

以下四个命题：①命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”；②若p∨q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：“∃x∈R，x²+x+1＜0”，则命题p的否定为“∀x∈R，x²+x+1≥0”；④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件；其中真命题为（ ）
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④

9. 难度：中等

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，当a∈[-1，1]时，f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．t≥2或t≤-2或t=0
B．t≥2或t≤2
C．t＞2或t＜-2或t=0
D．-2≤t≤2

10. 难度：中等

如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A₁D₁始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA₁时，AE+BF是定值．
其中正确说法是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②③④
D．①③④

二、填空题

11. 难度：中等

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为    ．

12. 难度：中等

已知P：|4-x|≤6，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若￢p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

按图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图，点A在锐二面角α-MN-β的棱MN上，在面α内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面β所成的角为30°，求二面角α-MN-β的大小    °．

15. 难度：中等

已知a，b，c成等差数列，点P（-1，0），点N（3，3），点P在随机运动的直线ax+by+c=0上的射影为M，若|MN|∈（5-，），则称M，N为“和谐点”，则M，N成为“和谐点”的概率为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

17. 难度：中等

（文）甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；
（2）求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．

18. 难度：中等

命题p：满足关于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一个；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．
（1）求命题p成立时a的取值范围；
（2））如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若，在线段CA₁上是否存在一点E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，观察如图的程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=和S=
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=n•2^a（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．