2012-2013学年江苏省南京市四校联考高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数，则|z|=    ．

2. 难度：中等

若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为    ．

3. 难度：中等

已知集合P={-1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=    ．

4. 难度：中等

已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为    ．

5. 难度：中等

若命题“∀x∈R，x²-ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，若，则数列{|a_n|}的最小项是第     项．

8. 难度：中等

已知θ是第二象限角，且，则的值为    ．

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x-1，则函数g（x）=x²+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₈≥15，a₉≤13，则a₁₂的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，则t的取值范围为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，若，且是整数，则n的值为    ．

14. 难度：中等

若关于x的方程|e^x-3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

16. 难度：中等

设，，（x∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式．

17. 难度：中等

随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（III）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

21. 难度：中等

已知a是整数，a²是偶数，求证：a也是偶数．

22. 难度：中等

已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．

23. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．