2012-2013学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若向量=（2，3），=（5，6），则=（ ）
A．（-7，-9）
B．（7，9）
C．（-3，-3）
D．（3，3）

2. 难度：中等

若A为全体正实数的集合，R为实数集，B={-2，-1，1，2}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．（∁_RA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B={0，+∞}
D．（∁_RA）∩B={-2，-1}

3. 难度：中等

将圆x²+y²-2x-4y+1=0平分的直线是（ ）
A．x+y-1=0
B．x+y+3=0
C．x-y+1=0
D．x-y+3=0

4. 难度：中等

下列函数为奇函数，且在区间（0，2）上是增函数的是（ ）
A．y=sin
B．y=e^x
C．y=x³
D．

5. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．1

6. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₃=1，q＞0，满足2a_n+2-a_n+1=6a_n，则S₅的值为（ ）
A．31
B．121
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（ ）
A．a＞b
B．a＜b
C．a=b
D．a与b的大小关系不能确定

8. 难度：中等

已知点．设∠AOB的平分线OE与AB相交于E，那么有=λ，其中λ等于（ ）
A．
B．3
C．-3
D．

9. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

10. 难度：中等

若0＜a＜1，且函数f（x）=|log_ax|，则下列各式中成立的是（ ）
A．f（2）＞f（）＞f（）
B．f（）＞f（2）＞f（）
C．f（）＞f（2）＞f（）
D．f（）＞f（）＞f（2）

11. 难度：中等

抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3

12. 难度：中等

设函数f（x）=x²-5x+6，h（x）=1+log₂x，集合P={x|h（x）＞2}，集合Q={x|f（h（x））≥0，且x∈R}，则集合M={x|x∈P且x∉Q}为（ ）
A．（2，4）
B．（4，8）
C．（4，+∞）
D．（8，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

函数的定义域为    ．

14. 难度：中等

已知α为钝角，且，则sin2α=    ．

15. 难度：中等

已知递减等差数列{a_n}满足：，则a₁₀₀=    ．

16. 难度：中等

对于如下四个函数：①，②f（x）=|x|，③f（x）=2，④f（x）=x²．
其中满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C所对的边，向量=（-1，），=（cosA，sinA），且=1．
（1）求角A；
（2）若a=4，△ABC的面积为，求b，c的值．

18. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x+1，数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求．

19. 难度：中等

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

20. 难度：中等

为应对国际金融危机对企业带来的不良影响，2009年某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元．据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）当140＜a≤280时，问企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，就尽量少裁）

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=0，n•a_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

22. 难度：中等

已知函数，函数f（x）在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，求实数t的取值范围；
（3）对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？