2012-2013学年浙江省宁波市余姚三中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i-1）i的共轭复数是（ ）
A．1-i
B．-1-i
C．-1+i
D．1+i

2. 难度：中等

已知a，b是实数，则“a＜b＜1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤1005
B．i＞1005
C．i≤1006
D．i＞1006

4. 难度：中等

已知x，y满足条件，则3x-4y的最大值为（ ）
A．1
B．-1
C．5
D．-5

5. 难度：中等

m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β 
②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α  
④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

6. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（ ）
A．10
B．8
C．
D．

7. 难度：中等

已知各项为正数的等差数列{a_n}的前20项和为100，那么a₇•a₁₄的最大值为（ ）
A．25
B．50
C．100
D．不存在

8. 难度：中等

已知A、B、C、D是平面上四个不共线的点，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形

9. 难度：中等

将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有（ ）
A．15种
B．18种
C．19种
D．21种

10. 难度：中等

若，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-m有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[0，1]

二、填空题

11. 难度：中等

已知展开式（x-1）⁶=a+a₁x+…+a₆x⁶，则a+a₆的值为    ．

12. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

13. 难度：中等

已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ=1.5，则a的值等于    ．

ξ		1	2	3
P	0.1	a	b	0.2

14. 难度：中等

设x＞0，y＞0，x+y-x²y²=4，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}是单调递增的等差数列，从a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇中取走任意三项，则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率=    ．

16. 难度：中等

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为    ．

17. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（A+B）=2．
（Ⅰ） 求sinC的值；
（Ⅱ） 当a=1，c=时，求b的值．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=17，S₁₀=100．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且经过点A（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AO（O是坐标原点）与椭圆C相交于点B，试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP²=AB²+BP²（不需要求出点P的坐标）．

22. 难度：中等

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；
②求函数上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．