2012-2013学年江苏省南通市海安高级中学高三（上）12月检测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的实部是    ．

2. 难度：中等

集合A={3，2^a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，2a+5，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

4. 难度：中等

若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ-sinθ的值是    ．

5. 难度：中等

设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于    ．

6. 难度：中等

若函数y=lnx+2x-6的零点为x，则满足k≤x的最大整数k=    ．

7. 难度：中等

定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（x+5）=f（-x），（2x-5）f′（x）＞0．已知x₁＜x₂，则“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的    条件．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过点A（2，1），且在点A处的切线方程2x-y+a=0，则a+b+c=    ．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，则这两条平行直线间的距离为    ．

10. 难度：中等

半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值为（S为三角形的面积）    ．

11. 难度：中等

已知A（3，），O是原点，点P的坐标为（x，y）满足条件，则z=的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若对x，y∈[1，2]，xy=2，总有不等式成立，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

给出下列四个命题：
①“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；
②函数y=sin（2x-）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=cos2x；
③函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）；
④设O是△ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为1：2；
其中真命题的序号是    （写出所有真命题的序号）．

14. 难度：中等

定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，，且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

16. 难度：中等

如图，M，N，K分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．
（1）求证：AN∥平面A₁MK；
（2）求证：平面A₁B₁C⊥平面A₁MK．

17. 难度：中等

如图：在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A、B两点．
（1）若A、B两点的纵坐标分别为、，求cos（β-α）的值；
（2）已知点，求函数的值域．

18. 难度：中等

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（I）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中k∈R．
（I）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；
（II）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，，，试证明{S_n}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M，都有d_n≠M（n∈N^*）．
求证：数列{d_n}单调递增．