2012-2013学年广东省中山一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B等于（ ）
A．（0，2）
B．（0，2]
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（ ）

A．19、13
B．13、19
C．20、18
D．18、20

3. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．
C．-1或
D．1或-

4. 难度：中等

直线ax-y+2a=0与圆x²+y²=9的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定

5. 难度：中等

在区间[0，1]上任取两个数a，b，方程x²+ax+b²=0的两根均为实数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽多少次（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）
A．14次
B．13次
C．9次
D．8次

8. 难度：中等

在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若复数z=（m²-5m+6）+（m-3）i是实数，则实数m=    ．

10. 难度：中等

已知，则cos2α=    ．

11. 难度：中等

根据定积分的几何意义，计算=    ．

12. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算．若输入x=8，则输出k=    ；若输出k=2，则输入x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是    ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）若a、b、c∈R，且a²+2b²+3c²=6，则a+b+c的最小值是    ．

15. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm²，则△ABC的面积为    cm²．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点和．
（1）求实数a和b的值；
（2）当x为何值时，f（x）取得最大值？

17. 难度：中等

某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数N=n₁，n₂，n₃，n₄，n₅，n₆，其中N的各位数中，n₁=n₆=1，n_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ=n₁+n₂+n₃+n₄+n₅+n₆，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图2所示，在边长为12的正方形AA'A'₁A₁中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A'A₁′与AA₁重合，构成如图3所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线AP与直线A₁Q所成角的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=5且（n≥2且n∈N^*）．
（1）若数列为等差数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：．

21. 难度：中等

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．