2012-2013学年河南省南阳市邓州一高分校高三（上）第四次周考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），
p₁：|z|=2，
p₂：z²=2i，
p₃：z的共轭复数为1+i，
p₄：z的虚部为-1．
A．p₂，p₃
B．p₁，p₂
C．p₂，p₄
D．p₃，p₄

2. 难度：中等

设a＞0且a≠1，则“函数y=a^x在R上是减函数”是“函数f（x）=（a-2）x³在R上为减函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要

3. 难度：中等

已知直线ax-by-2=0与曲线y=x³在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，2]

5. 难度：中等

若函数（α∈[0，2π]）是奇函数，则α=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

平面向量与的夹角为，若，，则=（ ）
A．
B．
C．4
D．12

7. 难度：中等

当时，，那么a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（1，4）
D．（2，4 ）

8. 难度：中等

函数的零点的个数（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

已知函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则a的取值范围（ ）
A．（-∞，4]
B．[4，+∞）
C．[-4，4]
D．（-4，4]

10. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：
当a≥b时，a⊕b=a；
当a＜b时，a⊕b=b²．
则函数有（ ）
A．最大值为8-2ln2，无最小值
B．最大值为8-2ln2，最小值为1
C．无最大值，无最小值
D．无最大值，最小值为1

11. 难度：中等

已知偶函数y=f（x）在区间[-1，0]上是增函数，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，下列判断中错误的是（ ）
A．f（5）=0
B．函数f（x）在[1，2]上单调递减
C．函数f（x）的图象关于直线 x=1对称
D．函数f（x）的周期是T=4

12. 难度：中等

若，且αsinα-βsinβ＞0，则下面结论正确的是（ ）
A．α＞β
B．α+β＞0
C．α＜β
D．α²＞β²

二、填空题

13. 难度：中等

把函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为     ．

15. 难度：中等

对于正项数列{a_n}，定义为{a_n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a_n}的通项公式为    ．

16. 难度：中等

设方程xlnx=2013的解为α，方程xe^x=2013的解为β，则α•β的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设命题p：函数g（x）=是R上的减函数，命题q：函数的定义域为R，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数（w＞0）的图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）求w值；
（2）若，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率．

21. 难度：中等

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x）＞m（1-a²）成立，求实数m的取值范围．