2012-2013学年湖南省长沙市浏阳一中高二（上）第三次段考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．ac＞bc
B．a²＞b²
C．a+c＞b+c
D．ac²＞bc²

2. 难度：中等

已知命题p：，则命题p的否定¬p是 （ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁=1，公比q=2，则a₁²+a₂²+…+a_n²=（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．（2ⁿ-1）
C．4ⁿ-1
D．（4ⁿ-1）

5. 难度：中等

若b为实数，且a+b=2，则3^a+3^b的最小值为（ ）
A．18
B．6
C．2
D．2

6. 难度：中等

已知（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1或a＞24
B．a=7或a=24
C．-7＜a＜24
D．-24＜a＜7

7. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

8. 难度：中等

设F₁和F₂为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和s_n=2a_n-3（n∈N^*），则a₅=    ．

10. 难度：中等

已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为    ．

11. 难度：中等

设等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，若对任意自然数n都有=，则+的值为     ．

12. 难度：中等

中心在原点，一个焦点是（-5，0），一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是    ．

13. 难度：中等

已知m，n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的准线方程为    ．

14. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

若不等式组表示的区域面积为S，则
（1）当S=2时，k=    ；
（2）当k＞1时，的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N^*）．
（I）求证是等差数列；
（II）若，求n的取值范围．

17. 难度：中等

已知
（I）当时，解不等式f（x）≤0；
（II）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．

18. 难度：中等

已知命题：“∀x∈x|-1≤x≤1，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B； 
（2）设不等式（x-3a）（x-a-2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

20. 难度：中等

如图，抛物线顶点在原点，圆x²+y²=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．

（1）求抛物线的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

21. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2），且离心率e满足：，e，成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．