2012-2013学年安徽省亳州二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=（ ）
A．（1，2）
B．[1，2）
C．（1，2]
D．[1，2]

2. 难度：中等

若复数z满足z（2-i）=11+7i，则z=（ ）
A．3+5i
B．3-5i
C．-3+5i
D．-3-5i

3. 难度：中等

函数的单调增区间是（ ）
A．（k∈z）
B．（k∈z）
C．（k∈z）
D．（k∈z）

4. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

5. 难度：中等

设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）
A．
B．
C．（）
D．（）

7. 难度：中等

不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin²A+ysinA=a与直线xsin²B+ysinC=c的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．相交但不垂直

8. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f（x）′＜0，设则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a

9. 难度：中等

若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

10. 难度：中等

设直线kx-y+1=0被圆O：x²+y²=4所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定

二、填空题

11. 难度：中等

已知，则f（a）的最大值为    ．

12. 难度：中等

已知命题p：“若x=1且y=2，则x+y=3”，则命题p的否命题为    ．

13. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为线段AA₁，B₁C上的点，则三棱锥D₁-EDF的体积为    ．

14. 难度：中等

已知y=f（x）+x²是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）=    ．

15. 难度：中等

设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．
（1）求证：AM⊥PD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

18. 难度：中等

已知向量=（cosωx-sinωx，sinωx），=（-cosωx-sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

20. 难度：中等

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

21. 难度：中等

已知函数
（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．