2012-2013学年河南省信阳市新县高中高二（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

2. 难度：中等

平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件

3. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰或直角三角形
C．不能确定
D．等腰三角形

4. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积．若向量，满足，则∠C=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F₁，F₂的连线互相垂直，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．28

6. 难度：中等

已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）
A．18
B．21
C．24
D．15

7. 难度：中等

下列函数中，最小值是4的是（ ）
A．y=x+
B．=2
C．y=sinx+4cscx，x∈（0，
D．y=2（7^x+7^-x）

8. 难度：中等

在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．b=7，c=3，C=30°
B．b=5，c=4，B=45°
C．a=6，b=6，B=60°
D．a=20，b=30，A=30°

9. 难度：中等

锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（0，2）
C．（，2）
D．（，）

10. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．，
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，P是两曲线的交点，则|PF₁|•|PF₂|的值是（ ）
A．
B．
C．b-n
D．a-m

12. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，S_n表示前n项和，a₂+a₈=18-a₅，则S₉=    ．

14. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，若+＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知双曲线kx²-y²=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，那么双曲线的离心率为    ．

16. 难度：中等

若直线y=kx-2与抛物线y²=8x交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则|AB|=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=12-a_n，求数列{}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

（1）求直线y=x+1被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程．

21. 难度：中等

已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=-1，斜率为2的直线l交圆锥曲线C于A、B两点，且|AB|=，求圆锥曲线C和直线ℓ的方程．

22. 难度：中等

定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF₁F₂的内心，连接PM并延长交F₁F₂于N，求的值．