2012-2013学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={x|-1＜x＜2}，，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

不等式的解集是    ．

3. 难度：中等

设f（x）的反函数为f^-1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f^-1（2x+1）=1，则x=    ．

4. 难度：中等

若，则行列式=    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+a•cosπx，若f（1）=2，则实数a=    ．

6. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）（bx-a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为[-4，+∞），则该函数的解析式为    ．

7. 难度：中等

若，则实数a的值等于    ．

8. 难度：中等

已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，则△APB的面积与△PAC的面积之比为    ．

9. 难度：中等

一个等差数列{a_n}中，是一个与n无关的常数，则此常数的集合为    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=-x²+（2a-1）|x|有四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得，则的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为2，则=    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x²⁰¹³+x，x∈R，若当时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（a≠0）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则的最大值是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知A={x|y=lg（x-1），x∈R}，，则（ ）
A．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件
B．“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件
C．“x∈B”是“x∈A”的充分必要条件
D．“x∈B”是“x∈A”的既不充分条件又必要条件

16. 难度：中等

若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数的方程有解（点O不在l上），则此方程的解集为（ ）
A．{-1}
B．{0}
C．
D．{-1，0}

17. 难度：中等

已知函数f（x），x∈R是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=1-x，则方程在区间[-10，10]上的解的个数是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

18. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，=，记Sn=，若S_2n+1-S_n≤对任意的n（n∈N^*）恒成立，则正整数t的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

三、解答题

19. 难度：中等

解关于x的不等式：．

20. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N^*满足的关系式；
（2）对于数列{a_n}，若存在正整数T，使得a_n+T=a_n，则称数列{a_n}为周期数列，T为数列的周期，令，证明：{a_n}为周期数列，指出它的周期T，并求a₂₀₁₂的值．

21. 难度：中等

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

22. 难度：中等

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

23. 难度：中等

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，都有．
（1）求证：；（提示：可先求证（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要证的结论．）
（2）求证：n≤11；
（3）对于n=11，试给出一个满足条件的集合A．