2012-2013学年河北省唐山一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x||x-1|＜1}，N={y|y=log₂（x²+2x+3）}则M∩N=（ ）
A．{x||1≤x＜2}
B．{x||0＜x＜2}
C．{x||1＜x＜2}
D．φ

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A．-1
B．-i
C．i
D．1

3. 难度：中等

已知向量，，则的最大值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．9

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若2a₈=6+a₁₁，则S₉的值等于（ ）
A．54
B．45
C．36
D．27

5. 难度：中等

下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x∈R，使得sinx+cosx=1.5
B．∀x∈R，总有x²-2x-3≥0
C．∀x∈R，∃y∈R，y²＜
D．∃x∈R，∀y∈R，y•x=y

6. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图（单位m）所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m²）等于（ ）

A．
B．
C．8π
D．16π

7. 难度：中等

要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

8. 难度：中等

按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为（ ）

A．k≥8
B．k＜8
C．k＜16
D．k≥16

9. 难度：中等

函数 f（x）=e^-xsinx的单调递增区间（ ）（k∈Z）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点．则△ABO是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．不等边锐角三角形
D．钝角三角形

11. 难度：中等

已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

12. 难度：中等

已知函数，则f（2011）=（ ）
A．2012
B．2011
C．2010
D．2009

二、填空题

13. 难度：中等

用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是    ．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足，则x-3y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₂；
（2）设b_n=log₃|a_n|，求数列{b_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A为锐角，且，求△ABC面积S的最大值．

19. 难度：中等

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．

20. 难度：中等

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，试求a的取值或取值范围；
（3）设函数，x∈（-1，b]，（b＞-1），如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．