2012-2013学年河南省郑州四中高三（上）12月调研数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，2}

2. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

i是虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．-i

4. 难度：中等

给出以下命题：①∃x∈R，sinx+cosx＞1②∀x∈R，x²-x+1＞0③“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（ ）
A．3或-3
B．3或-1
C．3
D．-3

6. 难度：中等

已知α是第三象限的角，且tanα=2，则sin（α+）=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）

A．π
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC所在的平面内有一点P，如果，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数，则函数f（x）有两个相异零点的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．-2＜a＜2

10. 难度：中等

设实数x，y满足x²+y²≤1，则点（x，y）不在区域内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（ ）
A．f（x）的图象过点（0，）
B．f（x）在[]上是减函数
C．f（x）的一个对称中心是（，0）
D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x₁∈[-1，2]，∃x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（0，3]
D．[3，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

若函数y=2tanωx的最小正周期为2π，则函数y=sin的最小正周期为    ．

14. 难度：中等

如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=    ．

15. 难度：中等

已知向量，且，则的值是    ．

16. 难度：中等

设f（x）=x-4tanx+2，x∈[-1，1]，则关于a的不等式f（a²-1）+f（1-a）＞4的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足．
（I）设，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{c_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

20. 难度：中等

某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．
（I）求圆心的极坐标．
（II）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．