2012-2013学年江苏省扬州中学高三（上）12月质量检测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={2，3}，B={1，a}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

x＞1是的    条件．

3. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

4. 难度：中等

复数在复平面内对应的点位于第     象限．

5. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为    ．

6. 难度：中等

已知：圆x²+y²=9与圆x²+y²-4x+4y-1=0关于直线l对称，则直线l的方程为    ．

7. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}的第二、三及第六项构成等比数列，则=    ．

8. 难度：中等

设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
其中正确命题的序号为    ．

9. 难度：中等

若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为    ．

10. 难度：中等

已知函数，f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为，则正数ω的值为    ．

11. 难度：中等

设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是    ．

12. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为F，P点在椭圆上，以P点为圆心的圆与y轴相切，且同时与x轴相切于椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知关于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围    ．

14. 难度：中等

已知直线l经过椭圆的焦点并且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M，则△MPQ面积的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点，
（1）求证：平面ACC₁⊥平面BCC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，tanB=3．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积．

17. 难度：中等

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

18. 难度：中等

在平面内，已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，椭圆的离心率为，P点是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：，，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=b₁+b₂+…+b_n，，证明：．

20. 难度：中等

已知函数
（1）当t=5时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值．

21. 难度：中等

设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵．
（1）求逆矩阵M^-1；
（2）求椭圆在矩阵M^-1作用下变换得到的新曲线的方程．

22. 难度：中等

已知曲线C：，直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=12．
（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．

23. 难度：中等

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

24. 难度：中等

设二项展开式C_n=（+1）^2n-1（n∈N^*）的整数部分为A_n，小数部分为B_n．
（1）计算C₁B₁，C₂B₂的值；
（2）求C_nB_n．