2012-2013学年江西省赣州市于都实验中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，则A∩B=（ ）
A．ø
B．（3.4）
C．（-2.1）
D．（4．+∞）

2. 难度：中等

已知复数z满足z•i=2-i，i为虚数单位，则z=（ ）
A．-1-2i
B．-1+2i
C．1-2i
D．1+2i

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

已知函数，则对任意x₁，x₂∈R，若0＜|x₁|＜|x₂|，下列不等式成立的是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＜0
B．f（x₁）+f（x₂）＞0
C．f（x₁）-f（x₂）＞0
D．f（x₁）-f（x₂）＜0

5. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=-，则f（0）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

6. 难度：中等

设，且在x轴上的射影为2，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1-x）-x²+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x-y-2=0
B．x-y=0
C．3x+y-2=0
D．3x-y-2=0

8. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）的图象经过点（-4，0），且在（0，+∞）上单调递减，则不等式（x²-x-6）•f（1-x）≥0的解集为（ ）
A．（-3，-2）∪（1，3）∪（5，+∞）
B．[-3，-2）∪（1，3]∪[5，+∞）
C．[-3，-2]∪[1，3]∪[5，+∞）
D．[-3，-2）∪（1，3]

9. 难度：中等

已知函数f（x）=|lg（x-1）|-（）^x有两个零点x₁，x₂，则有（ ）
A．x₁x₂＜1
B．x₁x₂＜x₁+x₂
C．x₁x₂=x₁+x₂
D．x₁x₂＞x₁+x₂

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a₁•a₂•a₃…a_k为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”，则在区间[1，2010]内所有的“和谐数”的和为（ ）
A．2048
B．4096
C．2026
D．4083

二、填空题

11. 难度：中等

如果f（tanx）=sin²x-5sinx•cosx，那么f（5）=    ．

12. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+bx+ay-3=0（a，b为正实数）上任意一点关于直线l：x+y+2=o的对称点都在圆C上，则+的最小值为    ．

13. 难度：中等

设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC面积之比为    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）为奇函数，且f（x-3）为偶函数，记f（2009）=a，若f（7）＞1，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

操作变换记为P₁（x，y），其规则为：P₁（x，y）=（x+y，x-y），且规定：P_n（x，y）=P₁（P_n-1（x，y）），n是大于1的整数，如：P₁（1，2）=（3，-1），P₂（1，2）=P₁（P₁（1，2））=P₁（3，-1）=（2，4），则P₂₀₁₂（1，-1）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）当c=1，且△ABC的面积为的值；
（2）当的值．

17. 难度：中等

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x²+ξ•x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，首项a₁＞0，公差d＞0．
（1）若a₁=1，d=2，且成等比数列，求整数m的值；
（2）求证：对任意正整数n，都不成等差数列．

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：BC∥平面AB₁C₁；
（2）求点B₁到面A₁CD的距离．

20. 难度：中等

设F₁，F₂分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，）到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；
（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程．

21. 难度：中等

设函数f（x）=
（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？
（参考公式：[ln（1+x）′]=）