2012-2013学年福建省福州市罗源一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²＜4}，N={x|x²-2x-3＜0}，则集合M∩N等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＞3}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．y=-x³，x∈R
B．y=sinx，x∈R
C．y=x，x∈R
D．

3. 难度：中等

在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若函数y=f（x+1）的定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域为（ ）
A．[0，]
B．[-1，4]
C．[-5，5]
D．[-3，7]

5. 难度：中等

二次函数f（x）=x²-4x（x∈[0，5]）的值域为（ ）
A．[-4，+∞）
B．[0，5]
C．[-4，5]
D．[-4，0]

6. 难度：中等

下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0

7. 难度：中等

已知f（）=，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=
B．f（x）=-
C．f（x）=
D．f（x）=-

8. 难度：中等

方程2^x=x²的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x-2）在[0，2]上是单调减函数，则（ ）
A．f（0）＜f（-1）＜f（2）
B．f（-1）＜f（0）＜f（2）
C．f（-1）＜f（2）＜f（0）
D．f（2）＜f（-1）＜f（0）

10. 难度：中等

函数的单调增区间是（ ）
A．（4，+∞）
B．（-∞，-1）
C．
D．

11. 难度：中等

函数y=2^|x|的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设函数为奇函数，则实数a=    ．

14. 难度：中等

设函数，则=    ．

15. 难度：中等

规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b²（a，b∈R），若k⊗x＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，2，3，4，8，9}，且C⊆A，C∩B≠∅，则满足条件的集合C的个数有    个．（填数字）

三、解答题

17. 难度：中等

幂函数f（x）=x^α过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

18. 难度：中等

已知函数f（x）的图象关于原点对称，并且当x＞0时，f（x）=x²-2x+3，试求f（x）在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．

19. 难度：中等

二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．

20. 难度：中等

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

21. 难度：中等

若定义在R上的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②；
③当x＞0时，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求证：f（x）为R上的增函数；
（3）求解关于x的不等式．

22. 难度：中等

已知定义在R的函数（a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．