2012-2013学年江苏省徐州市诚贤中学高三（上）第二次质量检测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数z=（x²-1）+（x-1）i是纯虚数，则实数x=    ．

2. 难度：中等

集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

在圆x²+y²=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为    ．

4. 难度：中等

已知cosα=-，α∈（，π），则等于    ．

5. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出S的值是    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，若，，则=    ．

8. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为    ．

9. 难度：中等

已知B为双曲线（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为    ．

10. 难度：中等

已知变量a，θ∈R，则（a-2cosθ）²+（a-5-2sinθ）²的最小值为    ．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}为递增数列，且，则数列a_n的通项公式a_n=    ．

12. 难度：中等

将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系x0y中，抛物线y²=2x的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的等差数列{a_n}及任意的正整数n都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x-cos²x-，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．
（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．

17. 难度：中等

如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时？

18. 难度：中等

已知双曲线左右两焦点为F₁，F₂，P是右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）当时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率e的取值范围；
（3）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

21. 难度：中等

选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
A选修4-1：几何证明选讲
如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
求证：∠ACB=∠OAC．
B选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=，向量．求向量，使得A²=．
C选修4-3：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ²=，焦距为2，求实数a的值．
D选修4-4：不等式选讲
已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+（a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

已知（1+）ⁿ展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x）…a_n（x），a_n+1（x）．设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-1．