2012-2013学年广东省江门市新会一中高三（上）第四次检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数-1+i的模等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．2+i
B．2-i
C．-1+2i
D．-1-2i

3. 难度：中等

若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．-1

4. 难度：中等

如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知向量=（4，-2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（ ）
A．10
B．5
C．
D．-10

6. 难度：中等

已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（ ）
A．=
B．•=0
C．•＜1
D．²=²

7. 难度：中等

下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°cos15°
B．cos²-sin²
C．
D．

8. 难度：中等

为得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移长度单位

9. 难度：中等

有以下四个命题：
①如果且，那么；
②如果，那么或；
③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；
④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（ ）

A．ω=1，φ=
B．ω=1，φ=-
C．ω=2，φ=
D．ω=2，φ=-

二、填空题

11. 难度：中等

设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为    ．

12. 难度：中等

已知向量满足与的夹角为60°，则=    ．

13. 难度：中等

已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=    ．

14. 难度：中等

已知向量=（1，-3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？

17. 难度：中等

已知函数，x∈R，且
（1）求A的值；
（2）设，，，求cos（α+β）的值．

18. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．
（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积．

19. 难度：中等

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（参考数值：）
（3）问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．