2012-2013学年河北省唐山一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

若sin2θ＜0，则角θ是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角

3. 难度：中等

在△ABC中，，，则B=（ ）
A．
B．
C．或
D．或

4. 难度：中等

为了得到函数y=log₂的图象，可将函数y=log₂x的图象上所有的点的（ ）
A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

5. 难度：中等

是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

设，，c=lnπ，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

7. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

8. 难度：中等

已知函数的简图如图，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．[1，）
C．[1，2）
D．[，2）

10. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC₁和BB₁的中点，则直线DE与平面BB₁C₁C所成的角为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，，且f（-2）=0，则不等式的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（0，2）
B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
C．（-2，0）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

12. 难度：中等

点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周长有最小值4+2；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

若tanα=，则cos（2）=    ．

14. 难度：中等

函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为    ．

15. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为    ．

16. 难度：中等

有下列命题：
①在函数y=cos（x-）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=log₂|3x-m|的图象关于直线x=对称，则；
③关于x的方程ax²-2x+1=0有且仅有一个实数根，则实数a=1；
④已知命题p：∀x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：∃x∈R，使得sinx＞1．
其中真命题的序号是_    ．

三、解答题

17. 难度：中等

函数f（x）=sinx+cosx+1在P（x，y）点处的切线平行于直线，求y的值．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

19. 难度：中等

设函数f（x）=2x³+ax²+bx+m的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线对称，且f′（1）=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．
（1）求cos C的值；
（2）若△ABC的面积为，且sin²A+sin²B=sin²C，求a，b及c的值．

21. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（a+）lnx+-x（a＞1）．
（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞．