2012-2013学年辽宁省本溪一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知I为实数集，M={x|x²-2x＜0}，N={x|y=}，则M∩（∁₁N）=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜1}
D．φ

2. 难度：中等

已知复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设向量=（1，x-1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知命题P：抛物线y=2x²的准线方程为y=-；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q）
D．p∨q

5. 难度：中等

数列{a_n}满足，则a₂₀₁₁=（ ）
A．1
B．-
C．
D．2

6. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF₁|=4|PF₂|，则△PF₁F₂的面积等于（ ）
A．
B．
C．24
D．48

7. 难度：中等

若tanα=3，则2sinα•cosα=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．29π
B．30π
C．
D．216π

9. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数在[1，+∞）上为增函数的概率是
（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-x³，对区间（0，1]上的任意两个值x₁、x₂，当x₁＜x₂时总有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，则a的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）
B．（0，4）
C．（1，4）
D．（0，1）

12. 难度：中等

若定义在[1，8]上的函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．f（6）=1
B．不等式xf（x）≤6恒成立
C．关于x的方程f（x）=2有2个解
D．函数f（x）的值域为[0，4]

二、填空题

13. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为    ．

14. 难度：中等

已知直线l：4x-3y+6=0，抛物线y²=4x上一动点到y轴和到直线的距离之和的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知f（x）=x²，g（x）=2^x-m，若对∀x₁∈[-1，3]，∃x₂∈[0，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则m的范围    ．

16. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于     ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，
（1）求a_n；
（2）若正项等比数列{b_n}满足b₂=s₁，b₄=a₂+a₃，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（1）求证：CD∥平面A₁EB；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁EB．

19. 难度：中等

某校为了对学生的语文、英语的综合阅读能力进行分析，在全体学生中随机抽出5位学生的成绩作为样本，这5位学生的语文、英语的阅读能力等级得分（6分制）如下表：

x （语文阅读能力）	2	3	4	5	6
y （英语阅读能力）	1.5	3	4.5	5	6

（Ⅰ）如果以能力等级分数不小于3.5分作为良好的标准，若从该样本中任意抽取2名学生成绩，求这2名学生的语文、英语阅读能力均为良好的概率；
（Ⅱ）根据上表数据
（ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．

20. 难度：中等

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M、N，直线l₂与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．

21. 难度：中等

巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R，g（x）=ln²x+2a²+．
（1） 证明：当a＞0时，对于任意不相等的两个正实数x1、x2，均有＞f（）成立；
（2） 记h（x）=，
（i）若y=h′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ii）证明：h（x）≥．

22. 难度：中等

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2．
（2）求函数y=f（x）的最小值．