2012-2013学年江苏省扬州市江都市丁沟中学高三（上）自主学习诊断数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数z=1-i（i是虚数单位），则=    ．

2. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=    ．

3. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为    ．

4. 难度：中等

不等式的解集   

5. 难度：中等

设向量，，其中0＜α＜β＜π，若，则β-α=    ．

6. 难度：中等

如果圆（x-a）²+（y-a）²=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-cosx，x∈，则满足f（x）＞f（）的x的取值范围为    ．

9. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是    ．

10. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，且，则=    ．

11. 难度：中等

若关于x的不等式x²＜2-|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=（a∈R），若对于任意的X∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（n为正整数）且a₂=6，则数列{a_n}的通项公式为a_n=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，，且∥．设函数y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）若在锐角△ABC中，，边，求△ABC周长的最大值．

16. 难度：中等

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2．求证：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO．

17. 难度：中等

如图为河岸一段的示意图．一游泳者站在河岸的A点处，欲前往对岸的C点处，若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v．
（1）设∠BEC=θ，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为θ的函数，并求自变量θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？

18. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数的图象经过点（4，8）．
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{a_n}中，若a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a_n=f（S_n）（n≥2），
证明数列成等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）另有一新数列{b_n}，若将数列{b_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数b₁，b₂，b₄，b₇，…，构成的数列即为数列{a_n}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

21. 难度：中等

已知矩阵A=，向量=[]．求向量，使得A²=．

22. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．

24. 难度：中等

设f（k）表示区间[2^k-1，2^k]（k∈N^*）上自然数的个数，S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）．
（1）求S_n的表达式；（2）设P_n=n²+n-1（n∈N^*），试比较S_n与P_n的大小，并说明理由．