2012-2013学年安徽省宣城市宁国中学高二（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆+=1的焦距为（ ）
A．2
B．4
C．2
D．4

2. 难度：中等

下列命题中是真命题的是（ ）
A．∃x∈R，≤0
B．∀x∈R（2，+∞），2^x＞x²
C．若x＞1，则x²＞
D．若x＜y，则x²＜y²

3. 难度：中等

常数a＞0，椭圆x²+a²y²=2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A．3
B．
C．3或
D．或

4. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0）的渐近线方程为2x±3y=0，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

设a＞0  a≠1，则“函数f（x）=a^x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2-a）x³在R上是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=3与抛物线C：x²=py（p＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB，则抛物线C的方程为（ ）
A．y²=6
B．y²=3
C．x²=6y
D．x²=3y

7. 难度：中等

已知p：函数f（x）=2^|x-a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：log_a2＜1．如果“¬p”是真命题，“p或q”也是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞4
B．0＜a＜1或a＞4
C．a＞2
D．0＜a＜1

8. 难度：中等

如图，三个图中的多边形都是正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线以图中的F₁，F₂为焦点，则离心率分别是（ ）

A．+1，-，+1
B．，+，
C．，-，
D．+1，，+1

9. 难度：中等

已知椭圆C：+y²=1及定点A（2，0），点P是椭圆上的动点，则|PA|的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．

10. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²-3x+3＞0，则￢p是    ．

12. 难度：中等

已知定点N（3，0）与以点M为圆心的圆M的方程为（x+3）²+y²=16，动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线交直线MP于Q点，则动点Q的轨迹方程是    ．

13. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px （p＞0）上一点P（6，m）到其焦点F的距离为7，则抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线的方程为    ．

14. 难度：中等

已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，已知双曲线上一点M到左焦点的距离为5，则点M到右焦点的距离为    ．

15. 难度：中等

如图，双曲线-=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=    ；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设命题p：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的正根；命题q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0无实数根．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

（Ⅰ）求以点F₁（-2，0），F₂（2，0）分别为左右焦点，且经过点P（3，-2）的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且经过点P（4，-）的双曲线的方程．

18. 难度：中等

已知椭圆的一个顶点到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1；点P是椭圆上一点，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△F₁PF₂的面积．

19. 难度：中等

如图，F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F₁作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F₂作直线PF₂的垂线交直线l：x=于点Q，若点Q的坐标为（1，-4）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

20. 难度：中等

已知平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量=+λ，求λ的值．

21. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c；若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上任一点P（x，y）作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a-c）．
（Ⅰ）证明：|PF₂|的最小值为a-c；
（Ⅱ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点，若OA⊥OB，求椭圆的方程．