2012-2013学年湖南省长沙市望城一中、长沙县实验中学高三（上）联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数（i为虚数单位）所对应的点位于       （ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知且θ在第二象限，则sin2θ=（ ）
A．-
B．-
C．-
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=2^x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

4. 难度：中等

集合A={x|ln（x-l）＞0}，B={x|x²≤9}，则A∩B=（ ）
A．（2，3）
B．[2，3）
C．（2，3]
D．[2，3]

5. 难度：中等

已知，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

6. 难度：中等

设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

已知向量与的夹角为60°，||=2，||=3．则|2-|=（ ）
A．13
B．12
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+cosωx，x∈R，f（α）=-2，f（β）=2，且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的任意实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称g（x）为函数f（x）区间D上的一个“覆盖函数”．设f（x）=-2xlnx-x²，g（x）=-ax+3．若g（x）为函数f（x）在区间（0，+∞）上的一个“覆盖函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，5]
B．（-∞，4]
C．[4，+∞）
D．[5，+∞）

二、填空题

10. 难度：中等

在锐角△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若=    ．

11. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₂+a₄+a₆+a₈=20，则S₉=    ．

12. 难度：中等

命题p：∃x∈R，+ax+1≤0为假命题，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设则不等式f（x）＞2的解集为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案第2012棵树种植点的坐标应为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC的面积为，a=2，求b、c的值．

17. 难度：中等

已知向量，，函数
（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

2012年，国家为应对当前的经济危机，通过拉动内需，刺激经济增长．某品牌汽车集团公司计划投资20亿美元发展该品牌，据专家预测，2012年销售量为2万辆，并从2013年起，该公司汽车的销售量每年比上一年增加1万辆（假设2012年为第一年），销售利润按照每辆每年比上一年减少10%（2012年销售利润为2万美元/辆）．
（Ⅰ）第n年的销售利润为多少？
（Ⅱ）求到2016年年底，该公司能否实现盈利．

19. 难度：中等

已知是R上奇函数．
（I）求a，b的值；
（II）解不等式f（-3x²-2x）+f（2x²+3）＜0．

20. 难度：中等

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
（1）证明：是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：T_n＜2，（n∈N₊）．

21. 难度：中等

设关于x的函数f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为R上的常数，若函数f（x）在x=1处取得极大值0．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围；
（3）设函数，若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，求实数p的取值范围．