2012-2013学年广东省河源市龙川一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U是实数集R，若∁_UM={x|x²＞4}，N={x|1＜x≤3}，则M∩N=（ ）
A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|x＜2}
C．{x|-2≤x≤2}
D．{x|1＜x≤2}

2. 难度：中等

若复数z=（x²-1）+（x-1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1

3. 难度：中等

函数y=sinxsin的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

4. 难度：中等

设a=（1-3x²）dx+4，则二项式（x²+）⁶展开式中不含x³项的系数和是（ ）
A．-160
B．160
C．161
D．-161

5. 难度：中等

函数f（x）=log₂|x|，g（x）=-x²+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（0，1），设=+k，=2-，若∥，则实数k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=-2 012，其前n项和为S_n，若=2，则S₂₀₁₂的值等于（ ）
A．-2 011
B．-2 012
C．-2 010
D．-2 013

8. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=-f（x），且x∈[-1，1]时f（x）=1-x²，函数，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，4]内的零点的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=x³-x²+x+1在点（1，2）处的切线方程    ．

10. 难度：中等

已知向量=（x-z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为    ．

11. 难度：中等

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1且a₁，a₃，a₆成等比数列，则数列{a_n}的前n项和S_n=    ．

12. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，a=4，b=，5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为    ．

14. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=    ．

15. 难度：中等

在直角坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ，写出曲线C的直角坐标方程    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，=3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若c=1，求a、sinB的值．

17. 难度：中等

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=3，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角的正弦值．

19. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，，．设，为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心为原点O，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，=
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数t使成立，求实数t的值和直线l的方程．

21. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程；
（II）设F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），讨论函数F（x）的单调性；
（III）设函数H（x）=f（x）+g（x），是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．