2012-2013学年云南省保山市曙光中学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷多个

2. 难度：中等

已知a，b∈R，则“log₃a＞log₃b”是“（）^a＜（）^b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃+3a₆+a₉=15，则S₁₁等于（ ）
A．78
B．66
C．55
D．33

4. 难度：中等

如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（ ）

A．k≤6
B．k≤5
C．k≥6
D．k≥5

5. 难度：中等

f（x）=x²-2lnx的最小值（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

6. 难度：中等

函数f（x）=e^x+x-2，在下列区间中含有函数f（x）的零点是（ ）
A．（0，）
B．（，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

7. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2^x+2x+b（b为常数），则f（1）的值是（ ）
A．3
B．-3
C．-1
D．1

8. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

9. 难度：中等

函数f（x）=xln|x|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁和B₁B的中点，则D₁F与CE所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

对实数a和b，定义运算“⊗”：设函数f（x）=（x²-1）⊗（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-c恰有两个不同的零点，则实数c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量夹角为45°，且，则=    ．

14. 难度：中等

已知x，y满足不等式，则z=3x+y的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=2，cosB=，b=3，则sinA=    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则a_n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且有，
（1）求角B的大小；
（2）设向量，且，求t的值．

18. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；
（2）求和：．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当，且直线AE与平面PBD成角为45°时，确定点E的位置，即求出的值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x³-ax²+3x+b，a，b是实常数，其图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）若对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，求b的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数 f（x）=ax+1nx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=l处切线的斜率．
（2）设 g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=3，求BC的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤2的解集．
（2）若f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．