2012-2013学年浙江省衢州市常山一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若cosα=，则cos2α=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

“2＜2^x＜3”是“|x|＜2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在二项式的展开式中，含x⁴的项的系数是（ ）
A．-10
B．10
C．-5
D．5

5. 难度：中等

若如图的程序框图输出的y=4，可输入的x的值的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

7. 难度：中等

设函数f（x）=x-2sinx是区间[t，t+]上的增函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2kπ-，2kπ-]（k∈Z）
B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
C．[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）
D．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）

8. 难度：中等

设实数x，y满足，则y-4|x|的取值范围是（ ）
A．[-8，-6]
B．[-8，4]
C．[-8，0]
D．[-6，0]

9. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．函数y=sinx在区间（0，π）内单调递增
B．函数y=tanx的图象是关于直线成轴对称的图形
C．函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期为2π
D．函数的图象是关于点成中心对称的图形

10. 难度：中等

已知向量=（，），=（，-），双曲线•=1上一点M到F（7，0）的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|=（ ）
A．
B．
C．
D．或

二、填空题

11. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₂+a₇+a₁₅=12，则a₈=    ．

12. 难度：中等

要得到函数y=sin（2x-）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移    个单位．

13. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是    ．

14. 难度：中等

已知命题p：方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x²+2ax+2a≤0成立，若命题“p∧q”是真命题，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

已知P为椭圆和双曲线的一个交点，F₁，F₂为椭圆的焦点，那么∠F₁PF₂的余弦值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（x）-kx有三个零点，则k的取值范围为    ．

17. 难度：中等

如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，则的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx-cosx）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积．若f（A）=，a=2，S=2，求b，c．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比大于1，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₃=39，且a₁，，依次成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足：b₁=3，b_n=a_n（++…+）（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²•e^ax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有成立，x的取值范围．

21. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

22. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．