2012-2013学年山西省太原五中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（ ）
A．1或2
B．1或4
C．0或2
D．2或4

2. 难度：中等

在△ABC中，bcos（A+B）-2acos（A+C）=ccosB，则B=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数的一条对称轴方程为，则a=（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

若对所有实数x，均有sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx=cos^k2x，则k=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

5. 难度：中等

圆：x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若直线kx-y-2=0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面ABC，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a_i+b_j=a_k+b_l，则的值是（ ）
A．2012
B．2013
C．2014
D．2015

10. 难度：中等

已知正方形AP₁P₂P₃的边长为4，点B，C分别是边P₁P₂，P₂P₃的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于P），则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A．24π
B．12π
C．8π
D．4π

11. 难度：中等

已知实数u，v，定义运算u*v=（u-1）v，设u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1，则当≤θ≤时，u*v是的值域为（ ）
A．
B．
C．[0，4]
D．

12. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且，则下列结论①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正确命题的个数是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

若曲线y=x³在点P（1，1）处的切线与直线ax-by-2=0互相垂直，则=    ．

14. 难度：中等

已知α为第二象限角，，则cos2α=    ．

15. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=e^x+a，若f（x）在R上是单调函数，则实数a的最小值是    ．

16. 难度：中等

把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2^k-1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为（k，s），则可记为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列a_n的各项为正数，前n和为S_n，且．
（1）求证：数列a_n是等差数列；
（2）设，求T_n．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅲ）设二面角P-BD-A的大小为θ，求cosθ的值．

19. 难度：中等

已知sinα+cosα=，，求cos（α+2β）的值．

20. 难度：中等

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程．

21. 难度：中等

已知函数，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C的参数方程为（α为参数），点Q的极坐标为．
（1）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（2）若点P是圆C上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．