2012-2013学年湖北省荆州市公安县三中高三（上）元月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设m，n是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A．过m且与n平行的平面有且只有一个
B．过m且与n垂直的平面有且只有一个
C．m与n所成的角的范围是（0，π）
D．过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个

3. 难度：中等

已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是（ ）
A．（-∞，0]
B．（-1，0）
C．[0，+∞）
D．[0，1）

4. 难度：中等

可看作成（ ）
A．半径为3的圆的面积的二分之一
B．半径为的圆的面积的二分之一
C．半径为3的圆的面积的四分之一
D．半径为的圆的面积的四分之一

5. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）

A．6π
B．8π
C．12π
D．24π

6. 难度：中等

已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（ ）
A．
B．
C．或
D．或

7. 难度：中等

已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=1，，则a₉，a₁₀的大小关系为（ ）
A．a₉＞a₁₀
B．a₉=a₁₀
C．a₉＜a₁₀
D．大小关系不确定

9. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，PA=5，PB=4，点A、B到棱l的距离分别为x、y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，函数g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．关于g（x）的零点，下列判断不正确的是（ ）
A．若有一个零点
B．若有两个零点
C．若t=-2，g（x）有三个零点
D．若t＜-2，g（x）有四个零点

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象在x=4处的切线方程是y=-2x+9，则f（4）-f′（4）=    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是    cm³．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，目标函数z=ax-y的最小值和最大值分别为-2和2，则a的值为    ．

14. 难度：中等

已知x，y，z为正实数，且，求x+4y+9z的最小值    此时 x=    ，y=    ，z=    ．

15. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，），求||PA|+|PB|=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判断当tan（A-B）取最大值时△ABC的形状．

17. 难度：中等

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

18. 难度：中等

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

19. 难度：中等

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足．若不等式对∀n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）判断直线AB是否恒过定点C；若是，求定点C的坐标．若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-时，方程f（1-x）=有实根，求实数b的最大值．