2012-2013学年广东省江门市新会一中高三（上）第三次检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则C_AB=（ ）
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}

2. 难度：中等

已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设集合M={x||x-1|＜2}，N={x|x（x-3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知向量=（2，-3），=（x，6），，则|的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．13

5. 难度：中等

函数的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

6. 难度：中等

当时，函数的最大值和最小值分别是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x+2^x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x₁，x₂，x₃，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（ ）
A．x₁＜x₂＜x₃
B．x₂＜x₁＜x₃
C．x₁＜x₃＜x₂
D．x₃＜x₂＜x₁

8. 难度：中等

定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=（ ）
A．lg2
B．lg4
C．lg8
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

在边长为1的等边三角形ABC中，=    ．

10. 难度：中等

∫²|x-1|dx=    ．

11. 难度：中等

已知α为锐角，=    ．

12. 难度：中等

函数的定义域为    ．

13. 难度：中等

平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，-2），若点C满足，且s+t=1，则点C的轨迹方程是    ．

14. 难度：中等

飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔h（km），飞行员先在点A处看到山顶的俯角为α，继续飞行a（km）后在点B处看到山顶的俯角为β，试用h、a、α、β表示山顶的海拔高度为    （km）．

三、解答题

15. 难度：中等

叙述并证明余弦定理．

16. 难度：中等

已知集合A={x|x²-7x+6≤0，x∈N^*}，集合B={x||x-3|≤3．x∈N^*}，集合M={（x，y）|x∈A，y∈B}
（1）求从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率；
（2）从集合M中任取一个元素，求x+y≥10的概率；
（3）设ξ为随机变量，ξ=x+y，写出ξ的分布列，并求Eξ．

17. 难度：中等

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C的大小．

18. 难度：中等

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知．
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；
（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b-a的最大值．

19. 难度：中等

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．