2012-2013学年安徽省安庆市望江中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（x²-1）+（x-1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1

2. 难度：中等

有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．对于命题p：∃x∈R，x²+x+1＜0．则¬p：∀x∈R，x²+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题

3. 难度：中等

已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A．
B．
C．5
D．25

4. 难度：中等

函数y=f（x）在定义域（-，3）内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为（ ）

A．[-，1]∪[2，3）
B．[-1，]∪[，]
C．[-，]∪[1，2）
D．（-，-]∪[，]∪[，3）

5. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a₁=b₁，a₂₀₁₁=b₂₀₁₁，则a₁₀₀₆与b₁₀₀₆的大小关系是（ ）
A．a₁₀₀₆=b₁₀₀₆
B．a₁₀₀₆＜b₁₀₀₆
C．a₁₀₀₆＞b₁₀₀₆
D．a₁₀₀₆≥b₁₀₀₆

6. 难度：中等

函数的图象为C，
①图象C关于直线对称；
②函数在区间内是增函数；
③由y=3sinx的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，其公差为-2，且a₇是a₃与a₉的等比中项，S_n为{a_n}的前n项和，n∈N^*，则S₁₀的值为（ ）
A．-110
B．-90
C．90
D．110

8. 难度：中等

设a=cos6°-，b=，则有（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b

9. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量，，n∈N^*．下列命题中真命题是（ ）
A．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列
B．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列
C．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列
D．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等比数列

10. 难度：中等

如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知n∈{-1，0，1，2，3}，若（-）ⁿ＞（-）ⁿ，则n=    ．

12. 难度：中等

当时，函数的最小值为     ．

13. 难度：中等

的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）满足，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设，解不等式f（x）-1≥0．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．
（1）若b=3，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S_△ABC=3，求b，c的值．

18. 难度：中等

知函数y=sin²ωx+sinωxcosωx-1（ω＞0）周期为2π．求：当x∈[0，π]时y的取值范围．

19. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

20. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=t，a₂=t²，且t≠0，前n项和为S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）当＜t＜2时，比较2ⁿ+2^-n与tⁿ+t^-n的大小；
（3）若＜t＜2，b_n=，求证：++…+＜2ⁿ-．

21. 难度：中等

设函数，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（Ⅰ）确定b，c的值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）．证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．