2012-2013学年安徽省宣城市宁国中学高二（上）第二次段考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线的焦距为（ ）
A．3
B．4
C．3
D．4

2. 难度：中等

下列命题中是真命题的是（ ）
A．∃x∈R，≤0
B．∀x∈R（2，+∞），2^x＞x²
C．若x＞1，则x²＞
D．若x＜y，则x²＜y²

3. 难度：中等

常数a＞0，焦点在x轴上的椭圆x²+a²y²=2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

5. 难度：中等

设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上为增函数”是“函数g（x）=x^3-a在（0，+∞）上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

设抛物线y²=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

7. 难度：中等

已知p：函数f（x）=2^|x-a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：log_a2＜1．如果“¬p”是真命题，“p或q”也是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞4
B．0＜a＜1或a＞4
C．a＞2
D．0＜a＜1

8. 难度：中等

若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．5
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，已知双曲线上一点M到左焦点F₁的距离为5，则点M到右焦点的距离为（ ）
A．1
B．9
C．1或9
D．3或7

10. 难度：中等

如图，三个图中的多边形都是正多边形，M，N是所在边的中点，椭圆以图中的F₁、F₂为焦点，设图①、图②、图③中椭圆的离心率分别是e₁、e₂、e₃，则e₁、e₂、e₃的值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“对于任意的x∈R，使得x²-3x+3＞0”的否定是    ．

12. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px （p＞0）上一点P（6，m）到其焦点F的距离为7，则抛物线C的以点M（2，1）为中点的弦AB所在直线的方程为    ．

13. 难度：中等

已知圆M的方程为：（x+3）²+y²=100及定点N（3，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于Q点，设点Q的轨迹为曲线C，则曲线C的方程是    ．

14. 难度：中等

设点P为直线与椭圆在第一象限内的交点，点F是椭圆的右焦点，若PF垂直于x轴，则椭圆的离心率e=    ．

15. 难度：中等

点A（x，y）在双曲线的右支上，若点A到左焦点的距离等于4x，则 x=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

（Ⅰ）求以点F₁（-2，0），F₂（2，0）分别为左右焦点，且经过点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的标准方程．

18. 难度：中等

已知椭圆的一个顶点到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1；点P是椭圆上一点，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△F₁PF₂的面积．

19. 难度：中等

双曲线E经过点P（-4，6），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=2．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

20. 难度：中等

已知定点F（2，0），动圆P经过点F且与直线x=-2相切，记动圆的圆心P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量，求λ的值．

21. 难度：中等

已知定点A（-2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．