2012-2013学年广东省汕头市黄图盛中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果集合A={x|＞0}，B={x|x-3＜0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|x＜1或x＞3}

2. 难度：中等

设复数z₁=2-i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部是（ ）
A．-5
B．5
C．5i
D．-5i

3. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+（-1）ⁿ•2，则此数列的前4项之和为（ ）
A．16
B．8
C．0
D．-4

4. 难度：中等

若命题p：∀x≥0，x²+4x+3＞0，则￢p为（ ）
A．￢p：∀x≥0，x²+4x+3≤0
B．￢p：∃x≥0，x²+4x+3＞0
C．￢p：∀x＜0，x²+4x+3≤0
D．￢p：∃x≥0，x²+4x+3≤0

5. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R的奇函数，当x＜0，f（x）=3^x，f（1+log₃2）=（ ）
A．6
B．-6
C．
D．-

6. 难度：中等

如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）

A．36（π+）
B．36（π+2）
C．108π
D．108（）

7. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

8. 难度：中等

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289
B．1024
C．1225
D．1378

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-1|+2|x+3|，则f（x）≥8的解集是    ．

10. 难度：中等

已知||=||=1，与的夹角为，如图，=5-，=2+4，=2，则||=    ．

11. 难度：中等

在（+）⁹的展开式中，常数项等于    ．

12. 难度：中等

统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是    ；优秀率为    ．

13. 难度：中等

在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是    （写出所有正确结论的编号）．
①矩形；  
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；  
⑤每个面都是直角三角形的四面体．

14. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=    ．

15. 难度：中等

如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，，则PA=    ，=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=-2sinx•cosx+2cos²x+1．
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位使所得函数的图象关于点（0，2）对称，求m的最小值．

17. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100（n∈N^*）．
（1）设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n}，求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若数列{c_n}满足c_n=1+（n∈N^*），求数列{c_n}中最大的项和最小的项．

18. 难度：中等

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为．
（Ⅰ）求n，p的值并写出ξ的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

19. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞2．