2012-2013学年北京四中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x（x-3）＜0}，N={x||x|＜2}，则M∩N=（ ）
A．（-2，0）
B．（0，2）
C．（2，3）
D．（-2，3）

2. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是前n项的和，若S₅=20，则a₂+a₃+a₄=（ ）
A．15
B．18
C．9
D．12

4. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题

5. 难度：中等

若O是△ABC所在的平面内的一点，且满足，则△ABC一定是（ ）
A．等边三角形
B．斜三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形

6. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象按向量（）平移后得到的图象对应的函数解析式是（ ）
A．y=cos2x+1
B．y=-cos2x+1
C．y=sin2x+1
D．y=-sin2x+1

7. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=cossinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂）则x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在区间[]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=
其中真命题是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．③④

二、填空题

9. 难度：中等

函数 的单调递减区间为    ．

10. 难度：中等

向量、满足（-）•（2+）=-4，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于    ．

11. 难度：中等

已知函数的最小正周期是，那么正数ω=    ．

12. 难度：中等

湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为    cm，表面积是    ．

13. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是    ．

14. 难度：中等

如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC中边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度l_n=    ．（用π表示即可）

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间．
（3）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

17. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a．
（1）求证：AD⊥B₁D；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求点A₁到平面AB₁D的距离．

18. 难度：中等

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列的前n项T_n．

19. 难度：中等

已知函数，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，]时，恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，]，是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），且n=1，2，3，…．
（I）若0＜a＜1，求a₂，a₃，a₄，a₅；
（II）若0＜a_n＜4，证明：0＜a_n+1＜4；
（III）若0＜a≤2，求所有的正整数k，使得对于任意n∈N^*，均有a_n+k=a_n成立．