2012-2013学年江西省南昌市新建二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

1+i+i²+i³=（ ）
A．1
B．0
C．i
D．-1

2. 难度：中等

（2x-sinx）dx的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

命题“存在x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是（ ）
A．“任意x∈R，均有x²+x+1＜0”
B．“任意x∈R，均有x²+x+1≥0”
C．“存在x∈R，使得x²+x+1≥0”
D．“不存在x∈R，使得x²+x+1≥0”

4. 难度：中等

若f（x）=x³+2x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．5x-y-2=0
B．5x-y+2=0
C．5x+y-2=0
D．3x+y-2=0

5. 难度：中等

已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y-1）²=2
B．（x-1）²+（y+1）²=2
C．（x-1）²+（y-1）²=2
D．（x+1）²+（y+1）²=2

6. 难度：中等

若函数f（x）=4x³-ax²-2x+b在x=1处有极值，则a的值等于（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6

7. 难度：中等

若复数（i为虚数单位），是z的共轭复数，则在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．（-1，0）

8. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．z₁，z₂∈C，z₁+z₂为实数的充要条件是z₁，z₂为共轭复数
B．“x＞0”是“x≠0”的必要不充分条件
C．a+b=0的充要条件是
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件

9. 难度：中等

设直线x=t与函数f（x）=x²，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y²=2px（p＞0）于P，Q两点，若为定值，则a=（ ）
A．
B．2p
C．
D．p

二、填空题

11. 难度：中等

复数的虚部是    ．

12. 难度：中等

设函数，观察：，，，，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N⁺且n≥2时，f_n（x）=f（f_n-1（x））=    ．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数，g（x）=f（x）+f′（x）．则g（x）的最小值是    ．

15. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆M上任一点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值的取值范围是[2c²，3c²]，其中，则椭圆m的离心率e的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，，离心率 ，过椭圆右焦点F₂的直线 l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 l的倾斜角为，求线段MN中点的坐标．

17. 难度：中等

求函数f（x）=xe^x的单调区间和极值．

18. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）=x³-mx²+1在[1，2]单调递减，命题q：任意x∈R，使得若“￢p且￢q”为真，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数
（1）若函数f（x）在区间上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围．
（2）设，若g（x）在（0，1]上的最大值为，求实数b的值．

20. 难度：中等

已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

21. 难度：中等

已知函数
（1）当a=0时，求f（x）在处切线的斜率；
（2）当时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+3当时，若对于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．